Elementarmathematik Vom Höheren Standpunkte Aus: Arithmetik by Felix Klein (auth.)

By Felix Klein (auth.)

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Den letzten vorwiegend abstrakten Erörterungen will ich jetzt, meine Herren, konkretere Dinge folgen lassen, indem ich mich der Ausführung des numerischen Rechnens zuwende. Mehmcke 2 ). Einen allgemeinen Überblick über die hierher gehörigen Gegenstände werde ich Ihnen am besten verschaffen können, wenn ich in Kürze die Disposition dieses Artikels wiedergebe. Er zerfällt in zwei Teile, nämlich in A. Die Lehre vom genauen Rechnen und in B. Die Lehre vom genäherten Rechnen. Unter A. gehören alle Methoden, die das genaueRechnen mit großen ganzen Zahlen erleichtern sollen, so bequeme Rechenschemata, Produkt- und Quadrattafeln, insbesondere aber die bald eingehender zu besprechenden Rechenmaschinen.

Eine allgemeine Grundlegung gab 1872 G. Cantor in Halle, der Begründer der Mengenlehre, und gleichzeitig unabhängig von ihm R. Dedekind in Braunschweig. Den Dedekindschen Standpunkt will ich hier in ein paar Worten erläutern. Wir denken uns im Besitze sämtlicher rationalen Zahlen, wollen aber jede Raumanschauung, die uns den Begriff der Kontinuität der Zahlenreihe ohne weiteres aufzwingt, ausschließen. Um von dieser Grundlage aus zu einer rein arithmetischen Definition der Irrationalzahl zu gelangen, bildet sich Dedekind den Begriff des "Schnittes" im Gebiete der rationalen Zahlen.

Solche übertrieben genaueZahlen findet man, beiläufig gesagt, öfters in den Reklameschriften von Badeorten, wo der Salzgehalt der Quellen, der übrigens auch von der Zeit abhängt, auf eine Anzahl von Dezimalen angegeben ist, deren genaue Bestimmung durch Wägung einfach unmöglich ist. Gegenüber dieser Eigenschaft der empirischen Raumanschauung, an eine beschränkte Genauigkeit geknüpft zu sein, beansprucht die abstrakte oder ideale Raumanschauung eine unbegrenzte Genauigkeit und geht darin nach dem Cantarsehen Axiom mit den arithmetischen Definitionen des Zahlbegriffes genau parallel.

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